已知函数f(x)=ax-bx-2lnx，f(1)=0．（1）若函数f（x）在其定域义内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且an+1=f′(1an+1)-nan+1．①若a1≥3-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax-bx-2lnx，f(1)=0．（1）若函数f（x）在其定域义内为单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ax-

b

x

-2lnx，f(1)=0．
（1）若函数f（x）在其定域义内为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且an+1=f′(

1

an+1

)-nan+1．
①若a₁≥3，求证：a_n≥n+2；
②若a₁=4，试比较

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

与

2

5

的大小，并说明你的理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（1）=a-b=0，∴a=b，∴f(x)=ax-

a

x

-2lnx，
∴f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

．
要使函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，则在（0，+∞）内f′（x）恒大于0或恒小于0，
当a=0时，f′（x）=-

2

x

＜0在（0，+∞）内恒成立；
当a＞0时，要使f′（x）=a（

1

x

-

1

a

）²+a-

1

a

＞0恒成立，则a-

1

a

＞0，解得a＞1，
当a＜0时，要使f′（x）=a（

1

x

-

1

a

）²+a-

1

a

＞＜0恒成立，则a-

1

a

＜0，解得a＜-1，
所以a的取值范围为a＞1或a＜-1或a=0．
（2）①∵函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，
∴f′（1）=0，即a+a-2=0，解得 a=1
∴f′（x）=（

1

x

-1）²，a_n+1=a_n²-na_n+1
下面用数学归纳法证明：
（Ⅰ）当n=1，a₁≥3=1+2，不等式成立；
（Ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即：a_k≥k+2，∴a_k-k≥2＞0，
∴a_k+1=a_k（a_k-k ）+1≥2（k+2）+1=（ k+3）+k+2＞k+3
也就是说，当n=k+1时，a_k+1≥（k+1）+2成立
根据（Ⅰ）（Ⅱ）对于所有n≥1，都有a_n≥n+2成立
②由①得a_n=a_n-1（a_n-1-2n+2）+1≥a_n-1[2（n-1）+2-2n+2]+1=2a_n-1+1，
于是a_n+1≥2（a_n-1+1）（n≥2），
所以a₂+1≥2（a₁+1），a₃+1≥2（a₂+1）…，a_n+1≥2（a_n-1+1）
累乘得：a_n+1≥2^n-1（a₁+1），则

1

1+an

≤

1

2n-1

?

1

1+a1

（n≥2），
所以

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

≤

1

1+a1

（1+

1

2

+…+

1

2n-1

）=

2

5

（1-

1

2n

）＜

2

5

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax-bx-2lnx，f(1)=0．（1）若函数f（x）在其定域义内为单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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