设函数f(x)=23x3+12ax2+x，a∈R．（Ⅰ）当x=2时，f（x）取得极值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）内为增函数，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=23x3+12ax2+x，a∈R．（Ⅰ）当x=2时，f（x）取得极值，求a的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=

2

3

x3+

1

2

ax2+x，a∈R．
（Ⅰ）当x=2时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）内为增函数，求a的取值范围．

试题来源：朝阳区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f′（x）=2a²+ax+1，
（Ⅰ）由题意：f′（2）=8+2a+1=0
解得a=-

9

2

．（3分）
（Ⅱ）方程2a²+ax+1=0的判别式△=a²-8，
（1）当△≤0，即-2

2

≤a≤2

2

时，2a²+ax+1≥0，
f′（x）≥0在（0．+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数；
（2）当△＞0，即a＜-2

2

或a＞2

2

时，
要使f（x）在（0．+∞）内为增函数，只需在（0．+∞）内有2a²+ax+1≥0即可，
设g（x）=2a²+ax+1，
由

g(0)=1＞0

-

a

2×2

＜0

得a＞0，所．a＞2

2

由（1）（2）可知，若f（x）在（0．+∞）内为增函数，a的取值范围是[-2

2

，+∞）．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=23x3+12ax2+x，a∈R．（Ⅰ）当x=2时，f（x）取得极值，求a的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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