（理）已知函数f（x）=sinx+ln（1+x）．（I）求证：1n＜f（1n）＜2n（n∈N+）；（II）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：（理）已知函数f（x）=sinx+ln（1+x）．（I）求证：1n＜f（1n）＜2n（n∈N+）；（II..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

（理）已知函数f（x）=sinx+ln（1+x）．
（I）求证：

1

n

＜f（

1

n

）＜

2

n

（n∈N⁺）；
（II）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）令g（x）=2x-f（x），G（x）=f（x）-x．
∵g′（x）=2-cosx-

1

x+1

，定义域为（0，+∞）；
∴g（x）在（0，+∞）递增，?g（

1

n

）＞g（0）?2×

1

n

-f（

1

n

）＞0?f（

1

n

）＜

2

n

；
G（x）在（0，1]递增?G（

1

n

）＞G（0）?f（

1

n

）-

1

n

＞0?f（

1

n

）＞

1

n

．
从而可得结论．
（Ⅱ） ①当a≥2时，对x≥0，由（Ⅰ）的证明知f（x）≤2x≤ax．
②当a≤0时，f(

π

2

)=1+ln(1+

π

2

)＞0≥a?

π

2

，不合题意．
③当0＜a＜2时，今F（x）=f（x）-ax．
则F′(x)=cosx+

1

1+x

-a=(cosx-

a

2

)+(

1

1+x

-

a

2

)．
取x0=min{arccos

a

2

，

2

a

-1}．则x₀＞0．
易知当x∈（0，x₀）时，F'（x）＞0，
∴F（x）递增?F（x）＞F（0）=0，即f（x）＞ax，不合题意．
综上知：a∈[2，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（理）已知函数f（x）=sinx+ln（1+x）．（I）求证：1n＜f（1n）＜2n（n∈N+）；（II..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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