已知函数f（x）=2ax-1x2，x∈（0，1]．（1）若f（x）在x∈（0，1]上是增函数，求a的取值范围；（2）求f（x）在区间（0，1]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2ax-1x2，x∈（0，1]．（1）若f（x）在x∈（0，1]上是增函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2ax-

1

x2

，x∈（0，1]．
（1）若f（x）在x∈（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（2）求f（x）在区间（0，1]上的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知可得f′（x）=2a+

2

x3

，
∵f（x）在（0，1）上是增函数，
∴f′（x）＞0，即a＞-

1

x3

，x∈（0，1]．∴a＞-1．
当a=-1时，f′（x）=-2+

2

x3

对x∈（0，1）也有f′（x）＞0，
满足f（x）在（0，1]上为增函数，∴a≥-1．
（2）由（1）知，当a≥-1时，f（x）在（0，1]上为增函数，
∴[f（x）]_max=f（1）=2a-1．
当a＜-1时，令f′（x）=0得x=

1

3	-a

，
∵0＜

1

3	-a

＜1，∴0＜x＜

1

3	-a

时，
f′（x）＞0；

1

3	-a

＜x≤1时，f′（x）＜0．∴f（x）在（0，

1

3	-a

）上是增函数，
在（

1

3	-a

，1]减函数．
∴[f（x）]_max=f（

1

3	-a

）=-3

3	a2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2ax-1x2，x∈（0，1]．（1）若f（x）在x∈（0，1]上是增函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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