已知函数f(x)=1-xax+lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，求f（x）在[12，2]上的最大值和最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=1-xax+lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

试题来源：日照模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）=

1-x

ax

+lnx，
∴f'（x）=

ax-1

ax2

（a＞0）
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数
∴f'（x）=

ax-1

ax2

≥0对 x∈[1，+∞）恒成立
∴ax-1≥0 在x∈[1，+∞）上恒成立
∴a≥

1

x

，对x∈[1，+∞）恒成立
∴a≥1．
（Ⅱ）当a=1时，f'（x）=

x-1

x2

．
当x∈[

1

2

，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在x∈[

1

2

，1）上单调递减；
当x∈[1，2]时，f'（x）＞0，f（x）在x∈[1，2]上单调递增．
∴f（x）在x∈[

1

2

，2]上有唯一极小值点，
故f（x）_min=f（x）_极小值=f（1）=0
∵f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=-

1

2

+ln2，f（

1

2

）-f（2）=

3

2

-2ln2=

lne3-ln16

2

．
∵e³＞16，∴f（

1

2

）-f（2）＞0?f（

1

2

）＞f（2）．（10分）
∴f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值f（x）=f（

1

2

）=1-ln2．
综上可知，函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=1-xax+lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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