已知函数f（x）=ax+lnx（1）试讨论f（x）的极值（2）设g（x）=x2-2x+2，若对?x1∈（0，+∞），?x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax+lnx（1）试讨论f（x）的极值（2）设g（x）=x2-2x+2，若对..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax+lnx
（1）试讨论f（x）的极值
（2）设g（x）=x²-2x+2，若对?x₁∈（0，+∞），?x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

．
当a≥0时f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，此时函数不存在极值．
当a＜0时，由f'（x）＞0，解得0＜x＜-

1

a

，此时函数递增．由f'（x）＜0，解得x＞-

1

a

此时函数递减．此时函数在x=-

1

a

处取得极小值．无极大值．
综上所述：当a≥0时，函数不存在极值．
当a＜0时，函数在x=-

1

a

处取得极小值．无极大值．
（2）对?x₁∈（0，+∞），?x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），恒成立
由（1）知当a≥0时，f（x₁）在（0，+∞）上为增函数，f（x₁）无最大值；
当a＜0时，f(x1)max?=f(-

1

a

)=-1+ln?(-

1

a

)=-1-ln?(-a)
又g（x₂）=x₂²-2x₂+2在x₂∈[0，1]上单调递减，所以g（x₂）_max?=g（0）=2．
所以

a＜0

-1-ln(-a)＜2

，解得a＜-e^-3．
所以，实数a的取值范围是（-∞，-e^-3）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax+lnx（1）试讨论f（x）的极值（2）设g（x）=x2-2x+2，若对..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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