设函数f（x）=x2+aIn（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（I）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（II）证明：f(x2)＞1-2In24．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x2+aIn（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（I）求a的取..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x²+aIn（1+x）有两个极值点x₁、x₂，且x₁＜x₂，
（I）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；
（II）证明：f(x2)＞

1-2In2

4

．

试题来源：南宁模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′(x)=2x+

a

1+x

=

2x2+2x+a

1+x

(x＞-1)
令g（x）=2x²+2x+a，其对称轴为x=-

1

2

．
由题意知x₁、x₂是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，
其充要条件为

△=4-8a＞0

g(-1)=a＞0

，得0＜a＜

1

2

（1）当x∈（-1，x₁）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，x₁）内为增函数；
（2）当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x₁，x₂）内为减函数；
（3）当x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x₂，+∞）内为增函数；
（II）由（I）g(0)=a＞0，∴-

1

2

＜x2＜0，a=-（2x²₂+2x₂）
∴f（x₂）=x₂²+aln（1+x₂）=x₂²-（2x²₂+2x₂）ln（1+x₂）
设h(x)=x2-(2x2+2x)ln(1+x)(x＞-

1

2

)，
则h'（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）
（1）当x∈(-

1

2

，0)时，h'（x）＞0，∴h（x）在[-

1

2

，0)单调递增；
（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴当x∈(-

1

2

，0)时，h(x)＞h(-

1

2

)=

1-2ln2

4

故f(x2)=h(x2)＞

1-2In2

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x2+aIn（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（I）求a的取..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：