（类型A）已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）设函数f（x）在区间(-23，-13)内是减函数，求a的取值范围．（类型B）已知函数f（x）=x3-ax+1，a∈R．（1）讨论函数-数学试题及答案

1、试题题目：（类型A）已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

（类型A）已知函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）在区间(-

2

3

，-

1

3

)内是减函数，求a的取值范围．
（类型B）已知函数f（x）=x³-ax+1，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）在区间(-

2

3

，-

1

3

)内是减函数，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（类型A）（1）f（x）=x³+ax²+x+1∴f'（x）=3x²+2ax+1
当a²≤3时，即 -

3

≤a≤

3

时，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上递增．
当a²＞3时，即 a＜-

3

或 a＞

3

时，△＞0，f'（x）=0求得两根为 x=

-a±

a2-3

3

即f（x）在 (-∞，

-a-

a2-3

3

)，(

-a+

a2-3

3

，+∞)上递增，在 (

-a-

a2-3

3

，

-a+

a2-3

3

)递减．
（2）f'（x）=3x²+2ax+1≤0在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
即 2a≥

-1-3x2

x

在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
可知

-1-3x2

x

在 (-

2

3

，-

3

)上为减函数，在 (-

3

，-

1

3

)上为增函数．

-1-3x2

x

＜4．
所以a≥2．a的取值范围是[2，+∞）．
（类型B）（1）f（x）=x³-ax+1∴f'（x）=3x²-a
当a≤0时，f'（x）≥0，f（x）在R上递增．
当a＞0时，f'（x）=0求得两根为x=±

a

3

即f（x）在（-∞，-

a

3

），（

a

3

，+∞）上递增，在（-

a

3

，

a

3

）递减．
（2）f'（x）=3x²-a≤0在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
即a≥3x²在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
可知3x²在（-

2

3

，-

1

3

）上为减函数，
所以a≥

4

3

．a的取值范围是[

4

3

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（类型A）已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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