设函数f（x）=（x2+3x+m）?e-x（其中m∈R，e是自然对数的底数）（I）若m=3，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（II）若函数f（x）在（-∞，0）上有两个极值点．①求实数m的范围；②证明f-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=（x2+3x+m）?e-x（其中m∈R，e是自然对数的底数）（I）若m=3..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=（x²+3x+m）?e^-x（其中m∈R，e是自然对数的底数）
（I）若m=3，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（II）若函数f（x）在（-∞，0）上有两个极值点．
①求实数m的范围；
②证明f（x）的极小值大于e．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f'（x）=-（x²+x+m-3）?e^-x
∵m=3
∴f（x）=（x²+3x+3）?e^-x，f'（x）=-（x²+x）?e^-x
∴f（0）=3，f′（0）=0
故曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y=3
（II）①由（I）知f'（x）=-（x²+x+m-3）?e^-x，要使函数f（x）在（-∞，0）上有两个极值点
只要方程g（x）=x²+x+m-3=0有两个不等的负根
那么实数m应满足

△＞0

m-3＞0

解得3＜m＜

13

4

，
②设两负根为x₁，x₂且x₁＜x₂＜0，可知x=x₁时有极小值f（x₁）
由于对称轴为x=-

1

2

，g（0）＞0，所以-1＜x₁＜-

1

2

，且

x

21

+x₁+m-3=0得m=3-

x

21

-x₁，
∴f（x₁）=（

x

21

+3x₁+m）?e-x1=（2x₁+3）?e-x1，（-1＜x₁＜-

1

2

）
令h（x）=（2x+3）?e^-x∵h′（x）=（-1-2x）?e^-x＞0，即h（x）在x∈（-1，-

1

2

）上单调递增，
∴h（x）＞h（-1）=e
故f（x₁）＞e

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=（x2+3x+m）?e-x（其中m∈R，e是自然对数的底数）（I）若m=3..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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