已知函数f（x）=x3+ax2+bx+2在x=1处的切线与直线x+3y+1=0垂直，（I）若x=23是函数f（x）的极值点，求f（x）的解析式；（II）若函数f（x）在区间[32，2]上单调递增，求实数b的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+2在x=1处的切线与直线x+3y+1=0垂直，（I）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+2在x=1处的切线与直线x+3y+1=0垂直，
（I）若x=

2

3

是函数f（x）的极值点，求f（x）的解析式；
（II）若函数f（x）在区间[

3

2

，2]上单调递增，求实数b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f（x）=x³+ax²+bx+2的导数为f′（x）=3x²+2ax+b．
∵f（x）在x=1处的切线与直线x+3y+1=0垂直，∴f（x）在x=1处的切线斜率为3
∴f′（1）=3，即3+2a+b=3 ①
又∵x=

2

3

是函数f（x）的极值点，∴f′（

2

3

）=0．
即

4

3

+

4a

3

+b=0 ②
由①②可得，a=2，b=-4
∴f（x）的解析式为f（x）=x³+2x²-4x+2
（II）若函数f（x）在区间[

3

2

，2]上单调递增，则f′（x）≥0在区间[

3

2

，2]上恒成立，
由（I）可知，2a+b=0，∴a=-

1

2

b，代入f′（x）=3x²+2ax+b，得f′（x）=3x²-bx+b
∴3x²-bx+b≥0在区间[

3

2

，2]上恒成立．
∴b≤

3x2

x-1

在区间[

3

2

，2]上恒成立
令g（x）=

3x2

x-1

，则g（x）=

3(x-1)2+6(x-1)+3

x-1

=3（x-1）+

3

x-1

+6，
当x∈[

3

2

，2]时，3（x-1）+

3

x-1

+6≥6+6=12，当且仅当x=2时，等号成立
∴当x∈[

3

2

，2]时，g（x）有最小值为12，
∴b≤12

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+2在x=1处的切线与直线x+3y+1=0垂直，（I）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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