设函数f（x）=xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）求导函数，可得f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得x=

1

e

．
∵当x∈(0，

1

e

)时，f′（x）＜0；当x∈(

1

e

，+∞)时，f′（x）＞0，
∴当x=

1

e

时，f(x)min=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

．…（6分）
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），F′(x)=

2ax2+1

x

（x＞0）．
①当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，令F′（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得0＜x＜

-

1

2a

；
令F′（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得x＞

-

1

2a

．
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在（0，

-

1

2a

）上单调递增，在（

-

1

2a

，+∞）上单调递减．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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