函数f（x）=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1．（Ⅰ）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；（Ⅱ）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值；（Ⅲ）若-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

函数f（x）=x³+ax²+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1．
（Ⅰ）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f （x）的表达式；
（Ⅱ）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围．

试题来源：渭南二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（Ⅰ）

由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数得f′(x)=3x2+2ax+b

过y=f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为：

y-f(1)=f′(1)(x-1)即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1)

而过y=f(x)上P(1，f(1))的切线方程为：y=3x+1

故

3+2a+b=3

-a+c-2=1

，即

2a+b=0…(1)

a-c=-3…(2)

∵y=f(x)在x=-2时有极值，故f′(-2)=0

∴-4a+b=-12…(3)

由(1)(2)(3)相联立解得a=2，b=-4，c=5

f(x)=x3+2x2-4x+5

，&

&

…(4分)

（Ⅱ）f'（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）

x

[-3，-2）

-2

(-2，

2

3

)

2

3

(

2

3

，1]

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

极大

极小

f（x）_极大=f（-2）=（-2）³+2（-2）²-4（-2）+5=13 f（1）=1³+2×1-4×1+5=4
∴f（x）在[-3，1]上最大值为13 …（8分）
（Ⅲ）y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增
又f'（x）=3x²+2ax+b，由（1）知2a+b=0∴f'（x）=3x²-bx+b
依题意f'（x）在[-2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）=3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立．
①在x=

b

6

≥1时，g(x)最小值=g(1)=3-b+b＞0

&∴b≥6

②在x=

b

6

≤-2时，g(x)最小值=g(-2)=12+2b+b≥0∴b∈
③在-2≤

b

6

≤1时，g(x)最小值=

12b-b2

12

≥0

&则0≤b≤6．

综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0…（12分）
或者（Ⅲ）y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增
又f'（x）=3x²+2ax+b，由（1）知2a+b=0∴f'（x）=3x²-bx+b
依题意f'（x）在[-2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）=3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立∴b≥

3x2

x-1

=

3x2

x-1

=3(x-1)+

3

x-1

+6(x≤1)
令m（x）=3（x-1）+

3

x-1

（x≤1）
则m（x）≤-6∴(

3x2

x-1

)max=0∴b≥0

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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