已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x+1）（a∈R）（I）若当x∈[1，+∞）时，f‘（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（II）求函数g(x)=f′(x)-ax的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x+1）（a∈R）（I）若当x∈[1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x+1）（a∈R）
（I）若当x∈[1，+∞）时，f'（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（II）求函数g(x)=f′(x)-

a

x

的单调区间．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

x＞0，f′（x）=lnx+

x+1

x

-a．
（I）f′（x）＞0恒成立，即a＜lnx+

1

x

+1（x≥1）恒成立，
令h（x）=lnx+

1

x

+1，则h′（x）=

x-1

x2

≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴当x∈[1，+∞）时，h（x）最小值=h（1）=2，
故a＜2．
（II）g（x）=f′（x）-

a

x

=lnx+

x+1

x

-a-

a

x

=lnx+

1-a

x

+1-a，
g′（x）=

x-(1-a)

x2

，
当a≥1时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上递增；
当a＜1时，g′（x）=0，得x=1-a，
x∈（0，1-a）时，g′（x）＜0函数g（x）在（0，+∞）上递减；
x∈（1-a，+∞）时，g′（x）＞0函数g（x）在（0，+∞）上递增；
故函数g(x)=f′(x)-

a

x

的单调区间为：
当a≥1时，函数g（x）递增区间为：（0，+∞）；
当a＜1时，函数g（x）递增区间为：（1-a，+∞）；函数g（x）递减区间为：（0，1-a）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x+1）（a∈R）（I）若当x∈[1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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