设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=-1，x2=2，求函数f（x）的解析式；（2）若|x1|+|x2|=22，求实数b的最大值；（3）函数g（x）=f‘（x）-a（x-x1）若x1＜x-数学试题及答案

1、试题题目：设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（2）若|x1|+|x2|=2

2

，求实数b的最大值；
（3）函数g（x）=f'（x）-a（x-x₁）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，求函数g（x）在（x₁，x₂）内的最小值．（用a表示）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）．（1分）
∵x₁=-1，x₂=2是函数f（x）的两个极值点，
由

-1+2=-

2b

3a

-1×2=

-a2

3a

=-

a

3

，
得

a=6

b=-9

，（3分）
（或由f'（-1）=0，f'（2）=0．
∴3a-2b-a²=0，12a+4b-a²=0，
解得a=6，b=-9．）
∴f（x）=6x³-9x²-36x，（4分）
（2）∵x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点，
∴f'（x₁）=f'（x₂）=0，
∴x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的两根，
∵△=4b²+12a³，
∴△＞0对一切a＞0，b∈R恒成立，
而x1+x2=-

2b

3a

，x1?x2=-

a

3

，a＞0，
∴x₁?x₂＜0，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|
=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(-

2b

3a

)2-4(-

a

3

)

=

4b2

9a2

+

4

3

a

，（6分）
由|x1| +|x2| =2

2

，
得

4b2

9a2

+

4

3

a

=2

2

，
∴b²=3a²（6-a）．（7分）
∵b²≥0，
∴3a²（6-a）≥0，0＜a≤6．（8分）
令h（a）=3a²（6-a），
则h'（a）=-9a²+36a．
0＜a＜4时，h'（a）＞0
∴h（a）在（0，4）内是增函数；
4＜a＜6时，h'（a）＜0，
∴h （a）在（4，6）内是减函数．
∴a=4时，h（a）有极大值为96，
∴h（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值是4

6

．…（10分）
（3）∵x₁、x₂是方程f'（x）=0的两根，
f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
∵x1?x2=-

a

3

，x2=a，
∴x1=-

1

3

，（11分）
∴f′(x)=3a(x-x1)(x-x2)=3a(x+

1

3

)(x-a)
∴g（x）=f'（x）-a（x-x₁）
=3a(x+

1

3

)(x-a)-a(x+

1

3

)=3a(x+

1

3

)(x-a-

1

3

)，（12分）
对称轴为x=

a

2

，
∵a＞0，
∴

a

2

∈(-

1

3

，a)=(x1，x2)，
∴[g(x)]min=g(

a

2

)=3a(

a

2

+

1

3

)(

a

2

-a-

1

3

)=-3a(

a

2

+

1

3

)2=-

a(3a+2)2

12

．（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：