已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）．（Ⅰ）当a≥0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=x2-2bx+4．当a=14时，（i）若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．（i-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）．（Ⅰ）当a≥0时，讨论f（x）的单调性..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（Ⅰ）当a≥0时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2bx+4．当a=

1

4

时，
（i）若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数b取值范围．
（ii）对于任意x₁，x₂∈（1，2]都有|f(x1)-f(x2)|≤λ|

1

x1

-

1

x2

|，求λ的取值范围．

试题来源：泗阳县模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

，
所以当a=0时，f′(x)=

x-1

x2

，令f′(x)=

x-1

x2

＞0得x＞1，
所以此时函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）是减函数；-----------------------------（2分）
当a=

1

2

时，f′(x)=

-x2+2x+-1

2x2

=

-(x-1)2

2x2

≤0，所以此时函数f（x）在（0，+∞）是减函数；
当0＜a＜

1

2

时，令f′(x)=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，解得1＜x＜

1

a

-1，
此时函数f（x）在(1，

1

a

-1)是增函数，在(0，1)和(

1

a

-1，+∞)上是减函数；----------------------------------------------（4分）
当

1

2

＜a＜1，令f′(x)=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，解得

1

a

-1＜x＜1，
此时函数f（x）在(

1

a

-1，1)是增函数，在(0，

1

a

-1)和(1，+∞)上是减函数；-----------------------------------------（6分）
当a≥1，由于

1

a

-1≤0，令f′(x)=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，解得0＜x＜1，
此时函数f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）上是减函数．--------------------------------------------（8分）
（Ⅱ）（i）当a=

1

4

时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x₁∈（0，2），
有f(x1)≥f(1)=-

1

2

，又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），所以-

1

2

≥g(x2)，x₂∈[1，2]，
即存在x∈[1，2]，使g(x)=x2-2bx+4≤-

1

2

，即2bx≥x2+

9

2

，即2b≥x+

9

2

x

∈[

17

4

，

11

2

]，
所以2b≥

17

4

，解得b≥

17

8

，即实数b取值范围是[

17

8

，+∞)．--------------------（12分）
（ii）不妨设1＜x₁≤x₂≤2，由函数f（x）在（1，2]上是增函数，函数y=

1

x

在（1，2]是减函数，
∴|f(x1)-f(x2)|≤λ|

1

x1

-

1

x2

|等价于f(x2)-f(x1)≤λ(

1

x1

-

1

x2

)，
所以f(x2)+λ

1

x2

≤f(x1)+λ

1

x1

设h(x)=f(x)+

λ

x

=lnx-

1

4

x+

3

4x

+

λ

x

是减函数，
所以h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，即

3

4

+λ≥x-

1

4

x2=-

1

4

(x-2)2+1，解得λ≥

1

4

．---------（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）．（Ⅰ）当a≥0时，讨论f（x）的单调性..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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