设函数f（x）=lnx+x2+ax．（Ⅰ）若x=12时，f（x）取得极值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）-x2+1，当a=-1时，证明g（x）≤0在其定义域内恒成立-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=lnx+x2+ax．（Ⅰ）若x=12时，f（x）取得极值，求a的值；（Ⅱ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=lnx+x²+ax．
（Ⅰ）若x=

1

2

时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）-x²+1，当a=-1时，证明g（x）≤0在其定义域内恒成立，并证明

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

（n∈N，n≥2）．

试题来源：朝阳区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f′(x)=

1

x

+2x+a=

2x2+ax+1

x

，
（Ⅰ）因为x=

1

2

时，f（x）取得极值，所以f′(

1

2

)=0，
即2+1+a=0，故a=-3．（3分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞）．
方程2x²+ax+1=0的判别式△=a²-8，
（1）当△≤0，即-2

2

≤a≤2

2

时，2x²+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数．
（2）当△＞0，即a＜-2

2

或a＞2

2

时，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，
只需在（0，+∞）内有2x²+ax+1≥0即可，
设h（x）=2x²+ax+1，
由

h(0)=1＞0

-

a

2×2

＜0?

得a＞0，所以a＞2

2

．
由（1）（2）可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是[-2

2

，+∞)．（9分）
（Ⅲ）证明：g（x）=lnx+ax+1，当a=-1时，g（x）=lnx-x+1，其定义域是（0，+∞），
令g′(x)=

1

x

-1=0，得x=1．则g（x）在x=1处取得极大值，也是最大值．
而g（1）=0．所以g（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．因此lnx≤x-1．
因为n∈N，n≥2，所以lnn²≤n²-1．则

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

．
所以

ln22

22

+

ln32

32

++

lnn2

n2

≤(1-

1

22

)+(1-

1

32

)+(1-

1

n2

)
=(n-1)-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)
＜(n-1)-(

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

)
=(n-1)-(

1

2

-

1

n+1

)=

2n2-n-1

2(n+1)

．
所以结论成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=lnx+x2+ax．（Ⅰ）若x=12时，f（x）取得极值，求a的值；（Ⅱ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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