已知函数f（x）=ax2+2In（1-x）（a为实数）．（1）若f（x）在[-3，-2）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）设f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）max=1-22，求出a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2+2In（1-x）（a为实数）．（1）若f（x）在[-3，-2）上是增..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²+2In（1-x）（a为实数）．
（1）若f（x）在[-3，-2 ）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）设f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）_max=1-2

2

，求出a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得f'（x）≥0，对一切x∈[-3，-2）恒成立，
即2ax-

2

1-x

≥0对一切x∈[-3，-2）恒成立．（2分）
∴2ax≥

2

1-x

，a≤

1

-x2+x

=

1

-(x-

1

2

)2+

1

4

，（3分）
当x∈[-3，-2）时，-（x-

1

2

）²+

1

4

＜-6，
∴

1

-(x-

1

2

)2+

1

4

＞-

1

6

∴a≤-

1

6

，所以a的取值范围是（-∞，-

1

6

]．（6分）
（2）因为f'（x）=2ax-

2

1-x

，
当a≤0时，则f'（x）为单调递减函数，没有最大值．（8分）
当a＞0时，∵x＜1∴2a（1-x）＞0，

2

1-x

＞0，∴f'（x）≤2a-2

4a

．（10分）
由2a（1-x）=

2

1-x

得，x=1±

1

a

由于x=1+

1

a

＞1，舍去．
所以当x=1-

1

a

时，f'（x）max=2a-2

4a

．（11分）
令2a-2

4a

=1-2

2

，解得a=

1

2

或a=

9

2

-2

2

，即为所求．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2+2In（1-x）（a为实数）．（1）若f（x）在[-3，-2）上是增..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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