已知函数f（x）=ex-ln（x+1）（1）求曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）证明：e+e12+e13+…+e1n≥ln(n+1)+n(n∈N*，e为常数)．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ex-ln（x+1）（1）求曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^x-ln（x+1）
（1）求曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）证明：e+e

1

2

+e

1

3

+…+e

1

n

≥ln(n+1)+n(n∈N*，e为常数)．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f（x）=e^x-ln（x+1），
∴f′（x）=e^x-

1

x+1

，
∴k=f′（0）=e⁰-

1

0+1

=0，
f（0）=e⁰-ln1=1，
∴曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程为：y-1=0．
（2）∵f′（x）=e^x-

1

x+1

，x＞-1．
∴由f′（x）=e^x-

1

x+1

=0，得x=0．
当x＞0时，e＞1，

1

x+1

＜1，所以当x＞0时，f′（x）＞0；
当-1＜x＜0时，ex＜1，

1

x+1

＞1，所以当x＜0时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的减区间是（-1，0），增区间是（0，+∞）．
（3）∵函数f（x）的减区间是（-1，0），增区间是（0，+∞），
∴当x=0时，f（x）取得最小值f（0）=1，∴f（x）≥1，
∴e^x-ln（x+1）≥1，即e^x≥ln（x+1）+1，
取x=

1

n

，则e

1

n

≥ln（

1

n

+1）+1=ln（n+1）-lnn+1，
于是e≥ln2-ln1+1，
e

1

2

≥ln3-ln2+1，
e

1

3

≥ln4-ln3+1，
…
e

1

n

≥ln（n+1）-lnn+1．
相加得，e+e

1

2

+e

1

3

+…+e

1

n

≥ln（n+1）+n．（n∈N*，e为常数）．
故e+e

1

2

+e

1

3

+…+e

1

n

≥ln(n+1)+n(n∈N*，e为常数)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ex-ln（x+1）（1）求曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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