已知函数f（x）=axx2+b（a，b∈R）在（-1，f（-1））处的切线方程为y=-2．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=axx2+b（a，b∈R）在（-1，f（-1））处的切线方程为y=-2．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

ax

x2+b

（a，b∈R）在（-1，f（-1））处的切线方程为y=-2．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意得，f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

，
∵函数f(x)=

ax

x2+b

在（-1，f（-1））处切线为y=-2，
∴

f′(-1)=0

f(-1)=-2.

，即

a(1+b)-2a=0

a

1+b

=2.

解得

a=4

b=1.

∴f(x)=

4x

1+x2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=

4(x2+1)-8x2

(x2+1)2

=

-4(x-1)(x+1)

(x2+1)2

，
由f′（x）≥0得，-1≤x≤1，即f（x）的单调增区间是[-1，1]．
∵f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增，
∴

m≥-1

2m+1≤1

m＜2m+1.

，解得-1＜m≤0．
∴当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=axx2+b（a，b∈R）在（-1，f（-1））处的切线方程为y=-2．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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