已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取得极值．（Ⅰ）求t的取值范围；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，求t的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取得极值．
（Ⅰ）求t的取值范围；
（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，求t的值．

试题来源：西山区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f'（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵f（x）有三个极值点
∴x³-3x²-9x+t+3=0有三个根a、b、c．
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，则g'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
由g'（x）＞0可得x＜-1或x＞3；由g'（x）＜0可得-1＜x＜3；
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）上递减
∵g（x）有三个零点
∴g（-1）=t+8＞0，g（3）=t-24＜0
解得-8＜t＜24
（Ⅱ）∵a，b，c是方程x³-3x²-9x+t+3=0的三个根．
∴x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x³-（a+b+c）x²+（ab+ac+bc）x-abc
∴

a+b+c=3

ab+ac+bc=-9

t+3=-abc

且a+c=2b
∵a+b+c=3，a+c=2b
∴b=1
∴

a+c=2

a+ac+c=-9

∴

a+c=2

ac=-11

∴

a=1-2

3

c=1+2

3

∴

a=1-2

3

b=1

c=1+2

3

∴t=8．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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