定义：对于区间I内可导的函数y=f（x），若?x0∈I，使f（x0）=f′（x0）=0，则称x0为函数y=f（x）的新驻点．已知函数f（x）=ax-x．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在新驻点，求新驻点x0，并求此时a的值；（-数学试题及答案

1、试题题目：定义：对于区间I内可导的函数y=f（x），若?x0∈I，使f（x0）=f′（x0）=0，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

定义：对于区间I内可导的函数y=f（x），若?x₀∈I，使f（x₀）=f′（x₀）=0，则称x₀为函数y=f（x）的新驻点．已知函数f（x）=a^x-x．
（Ⅰ）若函数y=f（x）存在新驻点，求新驻点x₀，并求此时a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）=a^x-x，∴f'（x）=a^xlna-1，由题意得f(x0)=ax0-x0=0①f′(x0)=ax0lna-1=0②
由①得ax0=x0代入②得x₀=log_ae，即ax0=e③
代入①得x₀=e，∴a^e=e，∴a=e

1

e

．
（Ⅱ）f（x）=a^x-x≥0?a^x≥x，
（i）x≤0时，显然恒成立，
（ii）x＞0时，ax≥x?lnax≥lnx?xlna≥lnx?lna≥

lnx

x

，
设g(x)=

lnx

x

，则g′(x)=

1-lnx

x2

，g'（e）=0，
当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）递增，
当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）递减，g(x)max=g(e)=

1

e

，∴lna≥

1

e

，∴a≥e

1

e

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义：对于区间I内可导的函数y=f（x），若?x0∈I，使f（x0）=f′（x0）=0，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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