已知函数f(x)=px-px-lnx，g(x)=lnx-px(1+e2-2ep2)，其中e=2.71828…．（1）若f（x）在其定义域内是单调函数，求实数p的取值范围；（2）若p∈（1，+∞），问是否存在x0＞0，使f（x0）≤g（x0）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=px-px-lnx，g(x)=lnx-px(1+e2-2ep2)，其中e=2.718..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=px-

p

x

-lnx，g(x)=lnx-

p

x

(1+

e2-2e

p2

)，其中e=2.71828…．
（1）若f（x）在其定义域内是单调函数，求实数p的取值范围；
（2）若p∈（1，+∞），问是否存在x₀＞0，使f（x₀）≤g（x₀）成立？若存在，求出符合条件的一个x₀；否则，说明理由．

试题来源：成都模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由f(x)=px-

p

x

-lnx，得f′(x)=p+

p

x2

-

1

x

=

(px2-x+p)

x2

（1）由题意得：f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立或f'（x）≤0在（0，+∞）恒成立
若f'（x）≤0恒成立，则px²-x+p≤0恒成立∴p≤{

x

x2+1

}min
又

x

x2+1

=

1

x+

1

x

∈(0，

1

2

]∴p≤0满足题意
若f'（x）≥0恒成立，则px²-x+p≥0恒成立∴p≥{

x

x2+1

}max=

1

2

综合上述，p的取值范围是(-∞，0]∪[

1

2

，+∞)． …（6分）
（2）令F(x)=f(x)-g(x)=px-2lnx+

e2-2e

px

．则问题等价于：找一个x₀＞0使F（x）≤0成立，故只需满足函数的最小值F（x）_min≤0即可．
因F′(x)=p-

2

x

-

e2-2e

px2

=

(px-e)(px-2+e)

px2

=

p

x2

(x-

e

p

)(x-

2-e

p

)，
而x＞0，p＞1，

e

p

＞

2

p

＞0，

2-e

p

＜0，
故当0＜x＜

e

p

时，F'（x）＜0，F（x）递减；当x＞

e

p

时，F'（x）＞0，F（x）递增．
于是，F(x)min=F(

e

p

)=e-2+2lnp+e-2=2e+2lnp-4＞0．
与上述要求F（x）_min≤0相矛盾，故不存在符合条件的x₀． …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=px-px-lnx，g(x)=lnx-px(1+e2-2ep2)，其中e=2.718..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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