已知函数f（x）=（a-1）lnx+ax2．（1）讨论函数y=f（x）的单调性；（2）求证：1ln2+1ln3+1ln4+…+1lnn＞n-12(n+1)（n≥2，n∈N+）；（3）当a=0时，求证：f（x）≤2ex-1ex．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（a-1）lnx+ax2．（1）讨论函数y=f（x）的单调性；（2）求证..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（a-1）lnx+ax²．
（1）讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）求证：

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞

n-1

2(n+1)

（n≥2，n∈N₊）；
（3）当a=0时，求证：f（x）≤

2

ex

-

1

ex

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）=（a-1）lnx+ax²，定义域为（0，+∞）．
∵f′(x)=

a-1

x

+2ax=

2ax2+a-1

x

．
当a≥1时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a≤0时，f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调递减；
当0＜a＜1时，令f'（x）=0，解得x=

1-a

2a

．
则当x∈(0，

1-a

2a

)时，f'（x）＜0；x∈(

1-a

2a

，+∞)时，f'（x）＞0．
故f（x）在(0，

1-a

2a

)单调递减，在(

1-a

2a

，+∞)单调递增．
（2）当a=

1

2

时，f(x)=-

1

2

lnx+

1

2

x2，
由（1）知，x＞

1-a

2a

=

2

时，y=f（x）递增，
所以x＞1时，f(x)=-

1

2

lnx+

1

2

x2＞f(1)=

1

2

?lnx＜x2-1＜x2
∵x＞1，
∴x²＞lnx＞0，
∴

1

lnx

＞

1

x2

，令x=k，则

1

lnk

＞

1

k2

＞

1

k(k+1)

=

1

k

-

1

k+1

(k≥2)，

∴

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)

=

1

2

-

1

n+1

=

n-1

2(n+1)

(n≥2，n∈N+)

（3）就是要证lnx≥

1

ex

-

2

ex

，即需证xlnx≥

x

ex

-

2

e

．
令g（x）=xlnx，则由g'（x）=lnx+1=0，得x=

1

e

，
当x＞

1

e

时g（x）递增，当0＜x＜

1

e

时g（x）递减，
所以g（x）的最小值为g(

1

e

)=-

1

e

．
设?(x)=

x

ex

-

2

e

，
当Φ ′(x)=

1-x

ex

=0时，x=1．
当x＞1时g（x）递减；当0＜x＜1时g（x）递增．
所以?（x）的最大值为?(1)=-

1

e

，
因为g（x）的最小值不小于?（x）的最大值，
即xlnx≥

x

ex

-

2

e

，所以xlnx≥

x

ex

-

2

e

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（a-1）lnx+ax2．（1）讨论函数y=f（x）的单调性；（2）求证..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：