已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（Ⅰ）当b=1时，若函数f（x）在（0，1]上为增函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于原点O对称，在点P（x0，f（x0））处的切线为l，l与函数f（x）的图-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（Ⅰ）当b=1时，若函数f（x）在（0，1]上为增..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c
（Ⅰ）当b=1时，若函数f（x）在（0，1]上为增函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于原点O对称，在点P（x₀，f（x₀））处的切线为l，l与函数f（x）的图象交于另一点Q（x₁，y₁）．若P，Q在x轴上的射影分别为P₁、Q₁，

OQ1

=λ

OP1

，求λ的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵b=1，∴f'（x）=3x²+2ax+1．
又因为函数f（x）在（0，1]上为增函数，
∴3x²+2ax+1≥0在（0，1]上恒成立，等价于a≥-(

3

2

x+

1

2x

)在（0，1]上恒成立．
又∵-(

3

2

x+

1

2x

)≤-2

3

2

x?

1

2x

=-

3

，
故当且仅当x=

3

时取等号，而

3

∈(0，1]，∴a的最小值为-

3

．（6分）

（Ⅱ）由已知得：函数f（x）=x³+ax²+bx+c为奇函数，
∴a=0，c=0，∴f（x）=x³+bx，（7分）∴f'（x）=3x²+b．
∵切点为P（x₀，y₀），其中y₀=f（x₀），
则切线l的方程为：y=（3x₀²+b）（x-x₀）+y₀（8分）
由

y=(3x02+b)(x-x0)+y0

y=x3+bx

，得x³+bx-[（3x₀²+b）（x-x₀）+y₀]=0．
又y₀=f（x₀）=x₀³+bx₀，∴x³-x₀³+b（x-x₀）-（3x₀²+b）（x-x₀）=0，
∴（x-x₀）（x²+x₀x-2x₀²）=0，∴（x-x₀）²（x+2x₀）=0，∴x=x₀或x=-2x₀，
由题意知，x₀≠0从而x₁=-2x₀．
∵

OQ1

=λ

OP1

，
∴x₁=λx₀，
∴λ=-2．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（Ⅰ）当b=1时，若函数f（x）在（0，1]上为增..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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