已知函数f(x)=13ax3+12x2-(2+2a)x+b（a∈R）（Ⅰ）若y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=12，求y=f（x）的解析式及单调递减区间；（Ⅱ）若y=f（x）在[-2，0]上存在极值点，求实数a的取值-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13ax3+12x2-(2+2a)x+b（a∈R）（Ⅰ）若y=f（x）在点P（1，f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

ax3+

1

2

x2-(2+2a)x+b（a∈R ）
（Ⅰ）若y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=

1

2

，求y=f（x）的解析式及单调递减区间；
（Ⅱ）若y=f（x）在[-2，0]上存在极值点，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f'（x）=ax²+x-（2+2a）
（Ⅰ）由已知可得

f′(1)=0

f(1)=

1

2

?

a=-1

b=

1

3

此时f'（x）=-x²+x，--------（4分）
由f'（x）=-x²+x＜0 得y=f（x）的单调递减区间为（-∞，0），（1，+∞）；----（7分）
（Ⅱ）由已知可得y=f'（x）在[-2，0]上存在零点且在零点两侧y=f'（x）值异号
（1）a=0 时，f'（x）=0?x=2?[-2，0]，不满足条件；
（2）a≠0 时，可得x2+

1

a

x-(

2

a

+2)=0在[-2，0]上有解且△＞0
设g(x)=x2+

1

a

x-(

2

a

+2)
①当g（-2）g（0）≤0 时，满足g（x）=0在[-2，0]上有解?(4-

2

a

-

2

a

-2)(-

2

a

-2)≤0?a≥2
或a≤-1 此时满足△＞0
②当g（-2）g（0）＞0时，即g（x）=0
在[-2，0]上有两个不同的实根
则

g(-2)＞0

g(0)＞0

-2＜-

1

2a

＜0

△＞0

? a 无解
综上可得实数a的取值范围为（-∞-1]∪[2，+∞）．--------（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13ax3+12x2-(2+2a)x+b（a∈R）（Ⅰ）若y=f（x）在点P（1，f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：