已知函数f（x）=x3-12x2+bx+c．（1）若f（x）有极值，求b的取值范围；（2）当f（x）在x=1处取得极值时，①若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围；②证明：对[-1，2]内的任意两个-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-12x2+bx+c．（1）若f（x）有极值，求b的取值范围；（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-

1

2

x2+bx+c．
（1）若f（x）有极值，求b的取值范围；
（2）当f（x）在x=1处取得极值时，①若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围；②证明：对[-1，2]内的任意两个值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

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2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=x3-

1

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x2+bx+c，
∴f′（x）=3x²-x+b，
要使f（x）有极值，则f′（x）=3x²-x+b=0有两不等实根，
从而△=1-12b＞0，解得b＜

1

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．
（2）∵f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=3-1+b=0，∴b=-2．
①∴f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，∵f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
∴当x∈（-

2

3

，1）时，f′（x）＜0，函数单调递减，
当x∈（-∞，-

2

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）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴当x=-

2

3

时，f（x）有极大值

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+c，
又f（2）=2+c＞

22

27

+c，f（-1）=

1

2

+c＜

22

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+c，
∴x∈[-1，2]时，f（x）_max=f（2）=2+c，
∴c²＞2+c
∴c＜-1或c＞2．
②由上可知，当x=1时，f（x）有极小值-

3

2

+c又f（2）=2+c＞-

3

2

+c，f（-1）=

1

2

+c
＞-

3

2

+c，∴x∈[-1，2]时，f（x）_min=-

3

2

+c，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=|2+c-（-

3

2

+c）|=

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2

，
故结论成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-12x2+bx+c．（1）若f（x）有极值，求b的取值范围；（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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