已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=k[（log_ax）²+（log_xa）²]-（log_ax）³-（log_xa）³，（其中a＞1），g（x）=x²-2bx+4，设t=log_ax+log_xa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对?x₁∈（1，+∞），?x₂∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），试求实数b的取值范围．．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵（log_ax）²+（log_xa）²=（log_ax+log_xa）²-2=t²-2，
（log_ax）³+（log_xa）³=（log_ax+log_xa）[（log_ax+log_xa）²-3]=t³-3t，
∴h（t）=-t³+kt²+3t-2k，（t＞2）
∴h'（t）=-3t²+2kt+3
设t₁，t₂是h'（t）=0的两根，则t₁t₂＜0，
∴h'（t）=0在定义域内至多有一解，
欲使h（t）在定义域内有极值，只需h'（t）=-3t²+2kt+3=0在（2，+∞）内有解，
且h'（t）的值在根的左右两侧异号，
∴h'（2）＞0得k＞

9

4

综上：当k＞

9

4

时h（t）在定义域内有且仅有一个极值，
当k≤

9

4

时h（t）在定义域内无极值
（Ⅱ）∵对任意的x₁∈（1，+∞），存在x₂∈[1，2]，
使f（x₁）≤g（x₂）等价于x∈（1，+∞）时，f（x）_max≤g（x）_max，x∈[1，2]，
又k=4时，h（t）=-t³+4t²+3t-8 （t≥2），
h'（t）=-3t²+8t+3t∈（2，3）时，h'（t）＞0，
而t∈（3，+∞）时，h'（t）＜0
∴h（t）_max=h（3）=10，
x∈[1，2]时，g(x)max=

8-4b，b≤

3

2

5-2b，b＞

3

2

∴

b≤

3

2

8-4b≥10

或

b＞

3

2

5-2b≥10

∴b≤-

1

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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