已知x=1是函数f(x)=13ax3-32x2+(a+1)x+5的一个极值点．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=2x+m有三个交点，求实数m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知x=1是函数f(x)=13ax3-32x2+(a+1)x+5的一个极值点．（Ⅰ）求函数f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知x=1是函数f(x)=

1

3

ax3-

3

2

x2+(a+1)x+5的一个极值点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=2x+m有三个交点，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′（x）=ax²-3x²+a+1
由f′（1）=0得：a-3+a+1=0
即a=1
∴f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+5
（II）曲线y=f（x）与直线y=2x+m有三个交点
即

1

3

x3-

3

2

x2+2x+5-2x-m=0有三个根
即g（x）=

1

3

x3-

3

2

x2+5-m有三个零点
由g′（x）=x²-3x=0，得x=0或x=3
由g′（x）＞0得x＜0或x＞3，由g′（x）＜0得0＜x＜3
∴函数g（x）在（-∞，0）上为增函数，在（0，3）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数
要使g（x）有三个零点，
只需

g(0)＞0

g(3)＜0

即

5-m＞0

1

2

-m＜0

解得：

1

2

＜m＜5

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知x=1是函数f(x)=13ax3-32x2+(a+1)x+5的一个极值点．（Ⅰ）求函数f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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