已知函数f(x)=(m+1)lnx+m2x2-1．（1）当m=-12时，求f（x）在区间[1e，e]上的最值；（2）讨论函数f（x）的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=(m+1)lnx+m2x2-1．（1）当m=-12时，求f（x）在区间[1e，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=(m+1)lnx+

m

2

x2-1．
（1）当m=-

1

2

时，求f（x）在区间[

1

e

， e]上的最值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当m=-

1

2

时，f(x)=

1

2

lnx-

1

4

x2-1
∴f′(x)=

(1+x)(1-x)

2x

∵x＞0，∴x+1＞0
∴令f′（x）＞0，即

(1+x)(1-x)

2x

＞0，∵x＞0，x+1＞0，∴0＜x＜1；
令f′（x）＜0，即

(1+x)(1-x)

2x

＜0，∵x＞0，x+1＞0，∴x＞1，
∴函数的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）
∵x∈[

1

e

， e]
∴函数的递增区间为[

1

e

，1），递减区间为（1，e]
∴f（x）在区间[

1

e

， e]上的最大值为f（1）=-

5

4

，最小值为f（e）=

1

2

-

1

4

e2-1；
（2）∵函数f(x)=(m+1)lnx+

m

2

x2-1，
∴f′(x)=

mx2+(m+1)

x

（x＞0）
当m≥0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增；
当-1＜m＜0时，f′(x)=

m(x+

-1-m

m

)(x-

-1-m

m

)

x

，
令f′（x）＞0，∵x＞0，-1＜m＜0，∴0＜x＜

-1-m

m

；
令f′（x）＜0，∵x＞0，-1＜m＜0，∴x＞

-1-m

m

；
∴函数在（0，

-1-m

m

）上单调递增，在（

-1-m

m

，+∞）上单调减；
当m≤-1时，f′（x）≤0，函数在（0，+∞）上单调递减．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=(m+1)lnx+m2x2-1．（1）当m=-12时，求f（x）在区间[1e，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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