已知函数f（x）=lnax-x-ax（a≠0）（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值（Ⅱ）求证：对于任意正整数n均有1+12+13+…+1n≥12ln(2e)2n!，其中e为自然对数的底数；（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnax-x-ax（a≠0）（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值（Ⅱ）求证..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnax-

x-a

x

（a≠0）
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值
（Ⅱ）求证：对于任意正整数n均有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥

1

2

ln

(2e)2

n!

，其中e为自然对数的底数；
（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意f′(x)=

x-a

x2

． …（1分）
当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，
故fmin(x)=f(a)=lna2，无最大值． …（3分）
当a＜0时，函数f（x）的定义域为（-∞，0），此时函数在（-∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，
故fmin(x)=f(a)=lna2，无最大值．…（5分）
（Ⅱ）证明：取a=2，由（Ⅰ）可知：f(x)=ln2x-

x-2

x

≥f(2)=2ln2，
故

2

x

≥1+ln4-ln2x=ln

2e

x

，∴

1

x

≥

1

2

ln

2e

x

，（x＞0）
取x=1，2，3…，n，则1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥

1

2

ln

(2e)n

n!

．…（10分）
（Ⅲ）假设存在这样的切线，设其中一个切点T（x0，lnx0-

x0-1

x0

），
∴切线方程：y+1=

x0-1

x02

(x-1)，将点T坐标代入得：lnx0-

x0-1

x0

+1=

(x0-1)2

x02

，
即lnx0+

3

x0

-

2

x02

-1=0，…①
设g（x）=lnx+

3

x

-

1

x2

-1，则g′(x)=

(x-1)(x-2)

x3

．
∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2．+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g（x）_极大值=g（1）=1＞0，g（x）_极小值=g（2）=ln2+

1

4

＞0．
又g(

1

3

)=ln

1

3

+9-9-1=-ln3-1＜0，（也可以求g(

1

4

)等等）
注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在(

1

3

，1)内有且仅有一根
方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnax-x-ax（a≠0）（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值（Ⅱ）求证..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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