已知函数f（x）=x2+alnx（a为常数）．（1）若a=-4，讨论f（x）的单调性；（2）若a≥-4，求f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x的值；（3）若对任意x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x都成立，求实数a的取值-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+alnx（a为常数）．（1）若a=-4，讨论f（x）的单调性；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+alnx（a为常数）．
（1）若a=-4，讨论f（x）的单调性；
（2）若a≥-4，求f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x的值；
（3）若对任意x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x都成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）=x²-4lnx（x＞0），f'（x）=2x-

4

x

=

2(x2-2)

x

∴当x∈（0，

2

]时，f（x）是减函数；
当x∈[

2

，+∞），f（x）是增函数．
（2）a≥-4时，f（x）=x²+alnx，x∈[1，e]，f'（x）=

2x2+a

x

．
若a≥-2，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，e]上递增，
则当x=1时，f（x）取最小值f（1）=1；
若-4≤a＜-2，f（x）在[1，

-

a

2

]递减，在[

-

a

2

，e]上递增，
则当x=

-

a

2

时，f（x）取最小值f（

-

a

2

）=-

a

2

+

1

2

aln（-

a

2

）．
（3）对x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x成立，
即x²+alnx≤（a+2）x，
即a（x-lnx）≥x²-2x，
而x∈[1，e]，x＞lnx，
故a≥

x2-2x

x-lnx

，记φ(x)=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，e]，φ′(x)=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

≥0（仅当x=1时取等号）
∴φ(x)≤φ(e)=

e2-2e

e-1

∴所求a的取值范围是[

e2-2e

e-1

，+∞]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+alnx（a为常数）．（1）若a=-4，讨论f（x）的单调性；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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