发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-03 07:30:00
| 试题原文 |
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| （Ⅰ）当x＜1时，f（x）=-x3+x2+bx+c，则f'（x）=-3x2+2x+b． 依题意得：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=
①当-1≤x＜1时，f′(x)=-3x2+2x=-3x(x-
令f'（x）=0得x=0或x=
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
②当1≤x≤2时，f（x）=alnx．当a≤0时，f（x）≤0，f（x）最大值为0； 当a＞0时，f（x）在[1，2]上单调递增．∴f（x）在[1，2]最大值为aln2． 综上，当aln2≤2时，即a≤
当aln2＞2时，即a＞
（Ⅲ）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧． 不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），显然t≠1 ∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴
即-t2+f（t）（t3+t2）=0（*） 若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q； 若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q． 若0＜t＜1，则f（t）=-t3+t2代入（*）式得：-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0 即t4-t2+1=0，而此方程无解，因此t＞1．此时f（t）=alnt， 代入（*）式得：-t2+（alnt）（t3+t2）=0即
令h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h′(x)=lnx+
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∵t＞1∴h（t）＞h（1）=0，∴h（t）的取值范围是（0，+∞）． ∴对于a＞0，方程（**）总有解，即方程（*）总有解． 因此，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角 三角形，且此三角形斜边中点在y轴上． |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=-x3+x2+bx+c，x＜1alnx，x≥1的图象过坐标原点O，且在..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。