设函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x∈[1e-1，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x∈[1e..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求f （x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x∈[

1

e

-1，e-1]时，不等式f （x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

试题来源：武汉模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）函数的定义域为（-1，+∞）．（1分）
∵f/(x)=2[(x+1)-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

，
由f′（x）＞0，得x＞0；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0．（3分）
∴f（x）的递增区间是（0，+∞），递减区间是（-1，0）．（4分）
（Ⅱ）∵由f/(x)=

2x(x+2)

x+1

=0，得x=0，x=-2（舍去）
由（Ⅰ）知f（x）在[

1

e

-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增．
高三数学（理科）答案第3页（共6页）
又f(

1

e

-1)=

1

e2

+2，f（e-1）=e²-2，且e2-2＞

1

e2

+2．
∴当x∈[

1

e

-1，e-1]时，f（x）的最大值为e²-2．
故当m＞e²-2时，不等式f（x）＜m恒成立．（9分）
（Ⅲ）方程f（x）=x²+x+a，x-a+1-2ln（1+x）=0．
记g（x）=x-a+1-2ln（1+x），
∵g/(x)=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

，
由g′（x）＞0，得x＞1或x＜-1（舍去）．由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增．
为使方程f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，
只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实数根，于是有

g(0)≥0

g(1)＜0

g(2)≥0.

∵2-2ln2＜3-2ln3，
∴实数a的取值范围是2-2ln2＜a≤3-2ln3．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x∈[1e..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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