已知函数f(x)=lnx+ax（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）如果P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的点，且x0∈（0，3），若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤12恒成立，求实数a的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lnx+ax（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx+

a

x

（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）如果P（x₀，y₀）是曲线y=f（x）上的点，且x₀∈（0，3），若以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的最小值．

试题来源：东城区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ） f(x)=lnx+

a

x

，定义域为（0，+∞），
则f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

．
因为a＞0，由f'（x）＞0，得x∈（a，+∞），由f'（x）＜0，得x∈（0，a），
所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．
（Ⅱ）由题意，以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k满足k=f′(x0)=

x0-a

x

20

≤

1

2

（0＜x₀＜3），
所以a≥-

1

2

x02+x0对0＜x₀＜3恒成立．
又当x₀＞0时，-

3

2

＜-

1

2

x02+x0≤

1

2

，
所以a的最小值为

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx+ax（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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