已知函数f(x)=11+x+11+a+axax+8，x∈（0，+∞）．（1）当a=8时，求f（x）的单调区间；（2）对任意正数a，证明：1＜f（x）＜2．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=11+x+11+a+axax+8，x∈（0，+∞）．（1）当a=8时，求f（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

1+x

+

1

1+a

+

ax

ax+8

，x∈（0，+∞）．
（1）当a=8时，求f（x）的单调区间；
（2）对任意正数a，证明：1＜f（x）＜2．

试题来源：江西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）、当a=8时，f(x)=

1+

x

1+x

+

1

3

，求得f′(x)=

1-

x

2

x(1+x)3

，
于是当x∈（0，1]时，f'（x）≥0；而当x∈[1，+∞）时，f'（x）≤0．
即f（x）在（0，1]中单调递增，而在[1，+∞）中单调递减．
（2）．对任意给定的a＞0，x＞0，由f(x)=

1

1+x

+

1

1+a

+

1

1+

8

ax

，
若令b=

8

ax

，则abx=8①，
而f(x)=

1

1+x

+

1

1+a

+

1

1+b

②
（一）先证f（x）＞1；因为

1

1+x

＞

1

1+x

，

1

1+a

＞

1

1+a

，

1

1+b

＞

1

1+b

，
又由2+a+b+x≥2

2a

+2

bx

≥4

4	2abx

=8，得a+b+x≥6．
所以f(x)=

1

1+x

+

1

1+a

+

1

1+b

＞

1

1+x

+

1

1+a

+

1

1+b

=

3+2(a+b+x)+(ab+ax+bx)

(1+x)(1+a)(1+b)

≥

9+(a+b+x)+(ab+ax+bx)

(1+x)(1+a)(1+b)

=

1+(a+b+x)+(ab+ax+bx)+abx

(1+x)(1+a)(1+b)

=1．
（二）再证f（x）＜2；由①、②式中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b．则0＜b≤2
（ⅰ）当a+b≥7，则a≥5，所以x≥a≥5，因为

1

1+b

＜1，

1

1+x

+

1

1+a

≤

2

1+5

＜1，此时f(x)=

1

1+x

+

1

1+a

+

1

1+b

＜2．
（ⅱ）当a+b＜7③，由①得，x=

8

ab

，

1

1+x

=

ab

ab+8

，
因为

1

1+b

＜1-

b

1+b

+

b2

4(1+b)2

=[1-

b

2(1+b)

]2
所以

1

1+b

＜1-

b

2(1+b)

④
同理得

1

1+a

＜1-

a

2(1+a)

⑤，
于是f(x)＜2-

1

2

(

a

1+a

+

b

1+b

-2

ab

ab+8

)⑥
今证明

a

1+a

+

b

1+b

＞2

ab

ab+8

⑦，
因为

a

1+a

+

b

1+b

≥2

ab

(1+a)(1+b)

，
只要证

ab

(1+a)(1+b)

＞

ab

ab+8

，即ab+8＞（1+a）（1+b），也即a+b＜7，据③，此为显然．
因此⑦得证．故由⑥得f（x）＜2．
综上所述，对任何正数a，x，皆有1＜f（x）＜2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=11+x+11+a+axax+8，x∈（0，+∞）．（1）当a=8时，求f（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：