已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x（a∈R），f′（x）为f（x）的导数．（I）当a=-3时证明y=f（x）在区间（-1，1）上不是单调函数．（II）设g(x)=196x-13，是否存在实数a，对于任意的x1∈[-1，1]存-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x（a∈R），f′（x）为f（x）的导数．（I）当..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x（a∈R），f′（x）为f（x）的导数．
（I）当a=-3时证明y=f（x）在区间（-1，1）上不是单调函数．
（II）设g(x)=

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x-

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，是否存在实数a，对于任意的x₁∈[-1，1]存在x₂∈[0，2]，使得f′（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=3时，f（x）=x³+4x²-3x，f^′（x）=3x²+8x-3，由f^′（x）=0，即3x²+8x-3=0，得x₁=-3，x2=

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，
当-1＜x＜

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时，f^′（x）＜0，所以f（x）在（-1，

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）上为减函数，在（

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，1）上导数为正，函数为增函数，
所以，f（x）在（-1，1）上不是单调函数．
（2）因为g（x）=

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x-

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在[0，2]上为增函数，所以g（x）∈[-

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，6]．
令F（x）=f^′（x）+2ax=3x²+2（1-a）x-a（a+2）+2ax=3x²+2x-a²-2a
若存在实数a，对于任意的x₁∈[-1，1]存在x₂∈[0，2]，使得f'（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立，则对任意x∈[-1，1]，有F(x)min≥-

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，F（x）_max≤6．
对于函数F（x）=3x²+2x-a²-2a，F(x)min=F(-

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)=3×(-

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)2+2×(-

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)-a2-2a=-a2-2a-

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，F（x）_max=5-a²-2a．
联立

-a2-2a-

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≥-

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5-a2-2a≤6

解得：-2≤a≤0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x（a∈R），f′（x）为f（x）的导数．（I）当..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：