已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1，x2=2，且直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点．（1）求b和c（2）求函数y=f（x）的解析式；（3）在d为整数时，求过P点和y=f（x）相切于一异于P点-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1，x2=2，且直线y=6x+1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d有两个极值点x₁=1，x₂=2，且直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点．
（1）求b和c
（2）求函数y=f（x）的解析式；
（3）在d为整数时，求过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程．

试题来源：武汉模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可得：函数f（x）=x³+bx²+cx+d的导数为：f′（x）=3x²+2bx+c，
因为函数f（x）=x³+bx²+cx+d有两个极值点x₁=1，x₂=2，
所以3x²+2bx+c=0的两个根为x₁=1，x₂=2，
所以2b+c+3=0，并且4b+c+12=0，
解得：b=-

9

2

，c=6．
（2）设切点为（x₀，y₀），
由（1）可得：f′（x）=3x²-9x+6，
因为直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点，
所以f′（x₀）=6，即x₀=3或者x₀=0，
当x₀=3时，y₀=19，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x³-

9

2

x²+6x+

27

2

．
当x₀=0时，y₀=1，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x³-

9

2

x²+6x+1．
（3）由题意可得：f（x）=x³-

9

2

x²+6x+1，并且P（0，1），
设切点的坐标为（x₁，y₁），
所以K切=

y1-1

x1

=

x

31

-

9

2

x

21

+6x1

x1

=

x

21

-

9

2

x1+6…①．
又因为f′（x）=3x²-9x+6，
所以K_切=3x₁²-9x₁+6…②，
由①②可得：x1=

9

4

或者x1=0(舍去)，
所以切点为（

9

4

，

199

64

），所以K切=

15

16

，
所以切线方程为15x-16y+16=0．
所以过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程为15x-16y+16=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1，x2=2，且直线y=6x+1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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