设函数f（x）=x3+ax2-a2x+1，g（x）=ax2-2x+1，其中实数a≠0．（Ⅰ）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x3+ax2-a2x+1，g（x）=ax2-2x+1，其中实..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中实数a≠0．
（Ⅰ）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的值域；
（Ⅲ）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求a的取值范围．

试题来源：陕西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)，又a＞0，
∴当x＜-a或x＞

a

3

时，f'（x）＞0；
当-a＜x＜

a

3

时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)内是增函数，在(-a，

a

3

)内是减函数．
（Ⅱ）由题意知x³+ax²-a²x+1=ax²-2x+1，
即x[x²-（a²-2）]=0恰有一根（含重根）．∴a²-2≤0，即-

2

≤a≤

2

，
又a≠0，∴a∈[-

2

，0)∪(0，

2

]．
当a＞0时，g（x）才存在最小值，∴a∈(0，

2

]．
g（x）=a（x-

1

a

）²+1-

1

a

，
∴h(a)=1-

1

a

，a∈(0，

2

]．
h（a）≤1-

2

；
∴h（a）的值域为(-∞，1-

2

]．
（Ⅲ）当a＞0时，f（x）在（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)内是增函数，g（x）在(

1

a

，+∞)内是增函数．
由题意得

a＞0

a≥

a

3

a≥

1

a

，解得a≥1；
当a＜0时，f（x）在(-∞，

a

3

)和（-a，+∞）内是增函数，g（x）在(-∞，

1

a

)内是增函数．
由题意得

a＜0

a+2≤

a

3

a+2≤

1

a

，解得a≤-3；
综上可知，实数a的取值范围为（-∞，-3]∪[1，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x3+ax2-a2x+1，g（x）=ax2-2x+1，其中实..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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