已知f(x)=ax-bx-2lnx，且f(e)=be-ae-2（e为自然对数的底数）．（1）求a与b的关系；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；（3）证明：ln222+ln332+…+lnnn2＜2n2-n-14(n+1)(n-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(x)=ax-bx-2lnx，且f(e)=be-ae-2（e为自然对数的底数）．（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知f(x)=ax-

b

x

-2lnx，且f(e)=be-

a

e

-2（e为自然对数的底数）．
（1）求a与b的关系；
（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（3）证明：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

(n∈N，n≥2)
（提示：需要时可利用恒等式：lnx≤x-1）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意f(x)=ax-

b

x

-2lnx，f(e)=be-

a

e

-2，∴ae-

b

e

-2=be-

a

e

-2，
∴（a-b）（e+

1

e

）=0，∴a=b．
（2）由（1）知：f(x)=ax-

b

x

-2lnx，（x＞0），∴f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
令h（x）=ax²-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）为增函数，只需h（x）在（0，+∞）满足：h（x）≥0恒成立．
即ax²-2x+a≥0，a≥

2x

x2+1

在（0，+∞）上恒成立．
又∵0＜

2x

x2+1

=

2

x+

1

x

≤1，x＞0，所以a≥1．
（3）证明：先证：lnx-x+1≤0 （x＞0），设K（x）=lnx-x+1，则K′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

．
当x∈（0，1）时，k′（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；
当x∈（1，∞）时，k′（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；
∴x=1为k（x）的极大值点，∴k（x）≤k（1）=0．即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1．
由上知 lnx≤x-1，又x＞0，∴

lnx

x

≤1-

1

x

．
∵n∈N₊，n≥2，令x=n²，得

lnn2

n2

≤1-

1

n2

，∴

lnn

n2

≤

1

2

（1-

1

n2

），
∴

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

≤

1

2

（1-

1

22

+1-

1

32

+…+1-

1

n2

）
=

1

2

[n-1-（

1

22

+

1

32

+… +

1

n2

）]＜

1

2

[n-1-（

1

2×3

+

1

3×4

+… +

1

n(n+1)

）]
=

1

2

[n-1-（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

[n-1-（

1

2

-

1

n+1

）]=

2n2-n-1

4(n+1)

，
故要证的不等式成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(x)=ax-bx-2lnx，且f(e)=be-ae-2（e为自然对数的底数）．（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：