已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=lnx+1，（2分）
令f′（x）＜0得：0＜x＜

1

e

，∴f（x）的单调递减区间是（0，

1

e

）（4分）
令f'（x）＞0得：x＞

1

e

，∴f（x）的单调递增区间是(

1

e

，+∞)（6分）
（2）g′（x）=3x²+2ax-1，由题意2xlnx≤3x²+2ax+1∵x＞0，
∴a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

恒成立　①（9分）
设h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，则h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2 x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0得：x=1，x=-

1

3

（舍去）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；
当x＞1时，h'（x）＜0
∴当x=1时，h（x）有最大值-2（12分）
若①恒成立，则a≥-2，
即a的取值范围是[-2，+∞）．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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