设函数f(x)=alnx+1x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，若对任意x＞0，不等式f（x）≥2a成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＜0时，设x1＞0，x2＞0，试比较f（x1+x22）与f(x1)+f(x2-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=alnx+1x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=alnx+

1

x

，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，若对任意x＞0，不等式f（x）≥2a成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a＜0时，设x₁＞0，x₂＞0，试比较f（

x1+x2

2

）与

f(x1)+f(x2)

2

的大小并说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
（Ⅰ）由题意x＞0，f′(x)=

a

x

-

1

x2

，…（2分）
（1）当a＞0时，
由f′(x)=

a

x

-

1

x2

＜0，
解得x＜

1

a

，函数f（x）的单调递减区间是（0，

1

a

）；
由f′(x)=

a

x

-

1

x2

＞0，
解得x＞

1

a

，函数f（x）的单调递增区间是（

1

a

，+∞）． …（4分）
（2）当a≤0时，
由于x＞0，所以f′(x)=

a

x

-

1

x2

＜0恒成立，
函数f（x）的在区间（0，+∞）上单调递减．…（5分）
（Ⅱ）因为对于任意正实数x，不等式f（x）≥2a成立，即2a≤alnx+

1

x

恒成立．
因为a＞0，由（Ⅰ）可知
当x=

1

a

时，函数f(x)=alnx+

1

x

有最小值f（

1

a

）=aln

1

a

+a=a-alna．…（7分）
所以2a≤a-alna，解得0＜a≤

1

e

．
故所求实数a的取值范围是(0，

1

e

]． …（9分）
（Ⅲ）因为f(

x1+x2

2

)=aln

x1+x2

2

+

2

x1+x2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

(alnx1+

1

x1

+alnx2+

1

x2

)=

1

2

[aln(x1x2)+

x1+x2

x1x2

]=aln

x1x2

+

x1+x2

2x1x2

．…（10分）
所以f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=aln

x1+x2

2

+

2

x1+x2

-aln

x1x2

-

x1+x2

2x1x2

=aln

x1+x2

2

x1x2

-

(x1-x2)2

2x1x2(x1+x2)

．
（1）显然，当x₁=x₂时，f(

x1+x2

2

)=

f(x1)+f(x2)

2

． …（11分）
（2）当x₁≠x₂时，因为x₁＞0，x₂＞0，且a＜0，
所以x₁+x₂＞2

x1?x2

，
所以

x1+x2

2

x1?x2

＞1，a?ln

x1+x2

2

x1?x2

＜0．…（12分）
又-

(x1-x2)2

2x1x2(x1+x2)

＜0，所以aln

x1+x2

2

x1x2

-

(x1-x2)2

2x1x2(x1+x2)

＜0
所以f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

＜0，
即f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．
综上所述，当x₁=x₂时，f(

x1+x2

2

)=

f(x1)+f(x2)

2

；当x₁≠x₂时，f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=alnx+1x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：