已知函数f(x)=13x3+12ax2+ax+1存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求证：函数f（x）的导函数f′（x）在（-2，0）上是单调函数；（2）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），若直线AB的斜率不小-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3+12ax2+ax+1存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+ax+1存在两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求证：函数f（x）的导函数f′（x）在（-2，0）上是单调函数；
（2）设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），若直线AB的斜率不小于-2，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+ax+1存在两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
∴f'（x）=x²+ax+a，△=a²-4a＞0，∴a＞4或a＜0，且x₁+x₂=-a，x₁x₂=a
∴f''（x）=2x+a∴x∈（-2，0）时，f''（x）=2x+a∈（-4+a，a）
若a＞4时，f''（x）＞0，f′（x）在（-2，0）上是单调增函数
若a＜0时，f''（x）＜0，f′（x）在（-2，0）上是单调减函数
得证．
（2）直线AB的斜率=

f(x2)-f(x1 )

x2-x1

=

1

3

[(x2)3-(x1)3]+

1

2

a[(x2)2-(x1)2]+a(x2-x1)

x2-x1

=

1

3

（x₂²+x₁²+x₁x₂）+

1

2

a(x1+x2)+a=

1

3

[(x1+ x2 )2-x1x2]+

1

2

a(x1+x2)+a≥-2
∵x₁+x₂=-a，x₁x₂=a
∴

1

3

(a2-a)-

1

2

a2+a≥-2∴-2≤a≤6

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3+12ax2+ax+1存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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