已知函数f(x)=-alnx+(a+1)x-12x2(a＞0)（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若f(x)≥-12x2+ax+b恒成立，求实数ab的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=-alnx+(a+1)x-12x2(a＞0)（1）若x=1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=-alnx+(a+1)x-

1

2

x2 (a＞0)
（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f(x)≥-

1

2

x2+ax+b恒成立，求实数ab的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）求导数可得，f′（x）=

(x-a)(-x+1)

x

∵x=1是函数f（x）的极大值点，
∴0＜a＜1
∴函数f（x）的单调递减区间为（0，a），（1，+∞）；
（2）∵f(x)≥-

1

2

x2+ax+b恒成立，
∴alnx-x+b≤0恒成立，
令g（x）=alnx-x+b，则g′（x）=

a-x

x

∴g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减
∴g（x）_max=g（a）=alna-a+b≤0
∴b≤a-lna，∴ab≤a²-a²lna
令h（x）=x²-x²lnx（x＞0），则h′（x）=x（1-2lnx）
∴h（x）在（0，e

1

2

）上单调递增，在（e

1

2

，+∞）上单调递减
∴h（x）_max=h（e

1

2

）=

e

2

，∴ab≤

e

2

即ab的最大值为

e

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=-alnx+(a+1)x-12x2(a＞0)（1）若x=1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：