设函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a≥0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f'（x）=3x²+2ax-a²=3(x-

a

3

)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或x＞

a

3

，
由f′（x）＜0得-a＜x＜

a

3

，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），(

a

3

，+∞)，
单调递减区间为(-a，

a

3

)
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)
由（1）知f（x）在(-∞，-a)，(

a

3

，+∞)上单调递增，
在(-a，

a

3

)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴

f′(-1)≤0

f′(1)≤0

，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴

a

3

∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x）_max=max{f（-2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0
∴f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x）_max≤1即-8+4a+2a²+m≤1
即m≤9-4a-2a²在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a²的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-a)，(

a

3

，+∞)，
单调递减区间为(-a，

a

3

)，
（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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