已知f（x）=ax3-x2+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）在（-∞，0）上是增函数，在[0，3]上是减函数，且方程f（x）=0有三个实根．（1）求b的值；（2）求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=ax3-x2+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）在（-∞，0）上是增函数，在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知f（x）=ax³-x²+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）在（-∞，0）上是增函数，在[0，3]上是减函数，且方程f（x）=0有三个实根．
（1）求b的值；
（2）求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f′（x）=3ax²-2x+b，函数在（-∞，0）上是增函数，在[0，3]上是减函数．
∴当x=0时，f′（x）取得极小值．∴f′（0）=0．∴b=0
（2）∵方程f（x）=0有三个实根，∴a≠0
∴f′（x）=3ax²-2x+b=0的两根分别为0，

2

3a

．
∴f′（x）＞0在（-∞，0）时恒成立，f′（x）≤0在[0，3]时恒成立
由二次函数的性质可知a＞0，

2

3a

≥3，∴0＜a≤

2

9

∵方程f（x）=0有三个实根，∴极大值大于0极小值小于0，即

f(0)=c＞0

f(

2

3a

)=-

4

27a2

+c＜0

∴当0＜c≤

3

时，0＜a≤

2

9

；当c＞

3

时，0＜a≤

2

3

c

9c

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=ax3-x2+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）在（-∞，0）上是增函数，在..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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