已知函数f（x）=a2lnx，g（x）=-(a+1)?exx+1，a为常数，且a≠0．（Ⅰ）令h（x）=f（x）-(a+1)(x-1)x，求h（x）的单调区间；（Ⅱ）设a＞0，且当x1，x2∈（0，1]，x1≠x2时，都有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=a2lnx，g（x）=-(a+1)?exx+1，a为常数，且a≠0．（Ⅰ）令h..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=a²lnx，g（x）=-

(a+1)?ex

x+1

，a为常数，且a≠0．
（Ⅰ）令h（x）=f（x）-

(a+1)(x-1)

x

，求h（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0，且当x₁，x₂∈（0，1]，x₁≠x₂时，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵h（x）=a2lnx-

(a+1)(x-1)

x

，∴h^′（x）=

a2

x

-

a+1

x2

=

a2x-(a+1)

x2

（x＞0），
①当a≤-1时，h^′（x）≥0，∴h（x）的单调递增区间为：（0，+∞）．
②当a＞-1且a≠0时，令h^′（x）≥0，解得x＞

a+1

a2

；h^′（x）＜0，解得0＜x＜

a+1

a2

．
∴h（x）的单调递增区间为：(

a+1

a2

，+∞)，单调递减区间为：(0，

a+1

a2

)．
（Ⅱ）不妨设0＜x₁＜x₂≤1．
∵f（x）在（0，1]上递增，∴f（x₁）＜f（x₂）．
而g′(x)=-

a+1

(x+1)2

?ex?x，
∵a＞0，∴g^′（x）＜0，∴g（x）在（0，1]上递减，
∴g（x₁）＞g（x₂）．
故由题意得：f（x₂）-f（x₁）＞g（x₁）-g（x₂），
即f（x₂）+g（x₂）＞f（x₁）+g（x₁）．
令F（x）=f（x）+g（x）=a2lnx-

(a+1)ex

x+1

，
则F（x₂）＞F（x₁），∴F（x）在（0，1]上递增，
∴F′(x)=

a2

x

-

(a+1)ex?x

(x+1)2

≥0对x∈（0，1]恒成立．
即

a+1

a2

≤

(x+1)2

ex?x2

对x∈（0，1]恒成立．
再设G（x）=

(x+1)2

ex?x2

，
∵G^′（x）=-

(x+1)(x2+x+2)

ex?x3

＜0，∴G（x）在（0，1]上单调递减．
∴G(x)min=G(1)=

4

e

．
∴

a+1

a2

≤

4

e

，
解得：a≤

1-

17

8

e或a≥

1+

17

8

e．∴实数a的取值范围为：a≥

1+

17

8

e．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=a2lnx，g（x）=-(a+1)?exx+1，a为常数，且a≠0．（Ⅰ）令h..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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