已知函数f（x）=x2-2x+alnx不是单调函数，且无最小值．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）设x0是函数f（x）的极值点，证明：-3+ln44＜f（x0）＜0．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2-2x+alnx不是单调函数，且无最小值．（Ⅰ）求实数a的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²-2x+alnx不是单调函数，且无最小值．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设x₀是函数f（x）的极值点，证明：-

3+ln4

4

＜f（x₀）＜0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本小题满分14分）
（Ⅰ）函数f（x）的定义域是{x|x＞0}．…（1分）
对f（x）导数，得f′(x)=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

．…（3分）
显然，方程f'（x）=0?2x²-2x+a=0（x＞0）．
若f（x）不是单调函数，且无最小值，
则方程2x²-2x+a=0必有2个不相等的正根．…（5分）
所以

△=4-8a＞0

a

2

＞0

解得0＜a＜

1

2

．…（6分）
（Ⅱ）设方程2x²-2x+a=0的2个不相等的正根是x₁，x₂，其中x₁＜x₂．
所以f′(x)=

2x2-2x+a

x

=

2(x-x1)(x-x2)

x

，列表分析如下：

x	（0，x₁）	x₁	（x₁，x₂）	x₂	（x₂，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+

所以，x₁是极大值点，x₂是极小值点，f（x₁）＞f（x₂）．
故只需证明-

3+ln4

4

＜f(x2)＜f(x1)＜0．…（8分）
由 0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1，得 0＜x1＜

1

2

＜x2＜1．…（9分）
因为 0＜a＜

1

2

，0＜x1＜

1

2

，所以 f（x₁）=x₁（x₁-2）+alnx₁＜0．…（10分）
由 2

x

22

-2x2+a=0，得 a=-2

x

22

+2x2，
所以 f(x2)=

x

22

-2x2+(-2

x

22

+2x2)lnx2．…（12分）
对x₂求导数，得 f'（x₂）=-2（2x₂-1）lnx₂．
因为

1

2

＜x2＜1，所以f'（x₂）＞0，
所以 f（x₂）是(

1

2

，1)上的增函数，
故 f(x2)＞f(

1

2

)=-

3+ln4

4

．…（14分）
综上 -

3+ln4

4

＜f(x0)＜0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2-2x+alnx不是单调函数，且无最小值．（Ⅰ）求实数a的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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