设函数f（x）=ln（x+a）+x2（1）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在极值，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ln（x+a）+x2（1）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=ln（x+a）+x²
（1）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在极值，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=

1

x+a

+2x，
依题意有f'（-1）=0，故a=

3

2

．（2分）
从而f′(x)=

2x2+3x+1

x+

3

2

=

(2x+1)(x+1)

x+

3

2

．（3分）
f（x）的定义域为(-

3

2

，+∞)，当-

3

2

＜x＜-1时，f'（x）＞0；
当m∈[-26，6]时，f'（x）＜0；当x＞-

1

2

时，f'（x）＞0．
∴f（x）分别在区间(-

3

2

，-1)，(-

1

2

，+∞)单调递增，在区间(-1，-

1

2

)单调递减．（6分）
（2）f（x）的定义域为（-a，+∞），f′(x)=

2x2+2ax+1

x+a

．（7分）
方程2x²+2ax+1=0的判别式△=4a²-8．
（ⅰ）若△＜0，即-

2

＜a＜

2

，在f（x）的定义域内f'（x）＞0，故f（x）无极值．（8分）
（ⅱ）若△=0，则a=

2

或a=-

2

．
若a=

2

，x∈(-

2

，+∞)，f′(x)=

(

2

x-1)2

x+

2

．
当x=-

2

时，f'（x）=0，当x∈(-

2

，-

2

)∪(-

2

，+∞)时，f'（x）＞0，
所以f（x）无极值．（10分）
若a=-

2

，x∈(

2

，+∞)，f′(x)=

(

2

x-1)2

x-

2

＞0，f（x）也无极值．（11分）
（ⅲ）若△＞0，即a＞

2

或a＜-

2

，则2x²+2ax+1=0有两个不同的实根x1=

-a-

a2-2

2

，x2=

-a+

a2-2

2

．
当a＜-

2

时，x₁＜-a，x₂＜-a，从而f'（x）在f（x）的定义域内没有零点，
故f（x）无极值．（12分）
当a＞

2

时，x₁＞-a，x₂＞-a，f'（x）在f（x）的定义域内有两个不同的零点，
由根值判别方法知f（x）在x=x₁，x=x₂取得极值．（13分）
综上，f（x）存在极值时，a的取值范围为(

2

，+∞)．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ln（x+a）+x2（1）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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