已知函数f(x)=12(x+ax)，(x≠0，x∈R)在(1，+∞)上为增函数，函数g（x）=lnx-ax，（x＞0，x∈R）在（1，+∞）上为减函数．（1）求实数a的值；（2）求证：对于任意的x1∈[1，m]（m＞1），总存在x2∈[-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=12(x+ax)，(x≠0，x∈R)在(1，+∞)上为增函数，函数g（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

2

(x+

a

x

)，(x≠0，x∈R)在(1，+∞)上为增函数，函数g（x）=lnx-ax，（x＞0，x∈R）在（1，+∞）上为减函数．
（1）求实数a的值；
（2）求证：对于任意的x₁∈[1，m]（m＞1），总存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0．

试题来源：宁波模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=

1

2

(1-

a

x2

)≥0在（1，+∞）上恒成立，
则a≤x²在（1，+∞）上恒成立，
∴a≤1．…（3分）
又g′(x)=

1

x

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
则a≥

1

x

在（1，+∞）上恒成立．
∴a≥1．…（5分）
从而为a=1…（7分）
（2）依题意可知，证明对于任意的x₁∈[1，m]（m＞1），
总存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0．
只须证：函数y=-f（x）的值域是函数y=g（x）值域的子集．
设y=-f（x）的值域为M，y=g（x）的值域为N；
由（1）可知y=-f（x）=-

1

2

(x+

1

x

)在[1，m]上为减函数，
g（x）=lnx-x在[1，m]上为减函数
∴M=[-

1

2

(m+

1

m

)，-1]，N=[lnm-m，-1]…（10分）
设?(x)=x-

1

x

-2lnx，(x＞1)
则∵x＞1，
∴?′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

(x-1)2

x2

＞0，
∴y=?（x）在（1，+∞）上为增函数
∵m＞1，
∴?（m）＞?（1）=0
∴2lnm＜m-

1

m

∴-

1

2

(m+

1

m

)＞lnm-m…（14分）
∴M?N，即对于任意的x₁[1，m]（m＞1）
总存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=12(x+ax)，(x≠0，x∈R)在(1，+∞)上为增函数，函数g（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：