发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-03 07:30:00
试题原文 |
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(1)依题意得g(x)=lnx+ax2+bx,则g′(x)=
由函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴得:g'(1)=1+2a+b=0, ∴b=-2a-1. (2)由(1)得g′(x)=
∵函数g(x)的定义域为(0,+∞),∴当a=0时,g′(x)=-
由g'(x)>0得0<x<1,由g'(x)<0得x>1, 即函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)单调递减; 当a>0时,令g'(x)=0得x=1或x=
若
即函数g(x)在(0,
若
即函数g(x)在(0,1),(
若
即函数g(x)在(0,+∞)上单调递增, 综上得:当a=0时,函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)单调递减; 当0<a<
当a=
当a>
(3)证法一:依题意得k=
证
令
令h(t)=lnt+
∴h(t)>h(1)=0,即lnt>1-
综合①②得1-
证法二:依题意得k=
令h(x)=lnx-kx,则h′(x)=
由h'(x)=0得x=
∴h(x)在(0,
∴x1<
证法三:令h(x)=lnx-
当x>x1时,h'(x)<0,∴函数h(x)在(x1,+∞)单调递减, ∴当x2>x1时,h(x2)<h(x1)?lnx2-
同理,令m(x)=lnx-
证法四:依题意得k=
令h(x)=x-x1lnx+x1lnx1-x1,则h′(x)=1-
∴当x2>x1时,h(x2)>h(x1)=0,即x1lnx2-x1lnx1<x2-x1 令m(x)=x-x2lnx+x2lnx2-x2,则m′(x)=1-
∴当x1<x2时,m(x1)>h(x2)=0,即x2-x1<x2lnx2-x2lnx1; 所以命题得证. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx,g(x)=f(x)+ax2+bx,函数g(x)的图象在点(1,g(..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。